|
|
Квантовая теория поля: основные направления исследований
Одним из основных направлений исследований группы квантовой теории поля в ИТФ Ландау является изучение и развитие непертурбативных методов исследования разнообразных конформных теорий поля, описывающих квантовые теории поля в фиксированных точках ренормгруппового потока. Исторически появление конформных теорий поля было инициированно, а в дальнейшем развитии тесно связано с двумя широкими направлениями теоретической физики. Во-первых, с основанным на гипотезе скейлинга и универсальности (Каданов [1], Паташинский и Покровский [2]) теоретико-полевым подходом к анализу фазовых переходов второго рода в моделях статистической механики (В.Н. Грибов и А.А. Мигдал [3], А.А. Мигдал [4], А.М. Поляков [5]). Во-вторых, с теорией критических струн, теорией представлений алгебры Вирасоро, и другими вопросами, появившихся в развитии альтернативного, струнного подхода к теории элементарных частиц. Квантование теории струны вне критической размерности должно учитывать конформную аномалию [6]. В конформной калибровке этот факт проявляется в том, что необходимо кроме полей материи учитывать на мировом листе и гравитацию Лиувилля. С точки зрения квантовой теории поля в особых точках пространства эффективных взаимодействий теория обладает масштабной инвариантностью, а бета функция обращается в нуль. Изучение всех неподвижных точек имеет важное значение для понимания понимания принципиальных вопросов квантовой теории поля, в частности, для анализа топологических свойств ренормализационной группы. Важным шагом в развитии конформных теорий поля была гипотеза о конформной инвариантности критических явлений, высказанная Поляковым [8]. В работе [9] было предложено строить решения конформной теории поля, комбинируя условие конформной инвариантности и гипотезу об операторной алгебре локальных полей, сформулированную независимо Кадановым [10], Поляковым (см [7]) и Вильсоном [11]. При таком бутстрапном подходе гамильтонова формулировка теории, эффективно описывающей квантовую теорию поля в пертурбативной области, не используется, а основные уравнения возникают из условия ассоциативности операторной алгебры. В многомерном случае решение этих уравнений представляется весьма сложной задачей, тогда как в двумерном случае, благодаря тому, что конформная группа при D=2 бесконечномерна, в некоторых случаях удается построить явные решения. В работе Белавина, Полякова и Замолодчикова в 1984 году [12] был предложен общий подход к изучению двумерных конформных квантовых теорий поля. В данной работе была введено понятие конформного блока и предложены методы его вычисления. Построен бесконечный набор точно решаемых нетривиальных моделей двумерной квантовой теории поля, так называемых "минимальных моделей" БПЗ. Существенным продвижением данной работы было, в частности, прояснение факта, что пространство состояний двумерных конформных теорий поля описывается с помощью бесконечномерной неабелевой алгебры динамической симметрии - алгебры Вирасоро. Это позволило классифицировать поля в двумерной конформной квантовой теории поля, задействовав аппарат теории представлений алгебры Вирасоро, развитый Фейгиным и Фуксом [13]. Более того, применение алгебраических методов позволило развить методы вычислений конформных блоков специальных (вырожденных) полей с использованием так называемых нуль-векторов, ведущих к дифференциальным уравнениям на конформные блоки. Конформные блоки общего вида, являющиеся ключевым объектом конформной теории поля, могут быть изучены с помощью рекурсионных соотношений, найденных Ал. Замолодчиковым [14]. Результаты и методы БПЗ дали начало бурному развитию современной двумерной конформной теории поля, в котором приняли участие многие исследователями. В частности, сотрудниками ИТФ им. Л.Д. Ландау были разработаны и изучены конформные теории поля с парафермионными симметриями (Фатеев и Замолодчиков [15]), уравнение Книжника-Замолодчикова для конформных блоков теорий с расширенной аффинной алгеброй симметрии [16], процедура бозонизации вершинных операторов, интегральные представления и описание монодромии конформных блоков, а также вычисление структурных констант операторной алгебры минимальных моделей (Доценко, Фатеев [17]) и т.д. Конформная теория поля нашла многочисленные применения в анализе различных вопросов интегрируемых моделей, физики конденсированного состояния и теории струн. В применении к теории интегрируемых моделей А. Замолодчиков [18] развил теорию возмущений для конформных теорий поля и показал, что аппарат конформной теории дает важную информацию для анализа массивных интегрируемых теорий поля вблизи критической точки. Этот метод был дополнен и развит в работе Ал. Замолодчикова [19], в которой развита конформная теория возмущений, свободная от инфракрасных расходимостей и предложен эффективный метод изучения корреляционных функций в массивных интегрируемых теориях поля на всех масштабах (см. также Направление 2). Применения в физике конденсированных состояний в основном связаны с тем, что двумерные конформные теории поля дают многочисленные примеры критических и мультикритических точек интересных моделей статистической механики. Так простейшая минимальная модель БПЗ - это критическая модель Изинга. Другим широко известным примером является модель Поттса с тремя состояниями в трикритической точке. Бесконечные серии точно решаемых решеточных моделей Эндрюса, Бакстера и Форрестера [20] описываются в мультикритических точках моделями БПЗ и парафермионными теориями Фатеева-Замолодчикова. Последние используются также при изучении дробного эффекта Холла. Модели с нулевым центральным зарядом алгебры Вирасоро находят применение в теории перколяции и т.д. Что касается применения к теории струн и теории двумерной гравитации (Белавин, Книжник [21], Книжник, Поляков, Замолодчиков [22]), то методы конформной теории поля продолжают активно развиваться и в последнее десятилетие (см. Направление 3). Так в работах Дорна-Отто [23] и Замолодчикова-Замолодчикова [24] были найдены структурные константы в двумерной квантовой теории Лиувилля. Эти результаты активно используются для изучения связанных с теорией Лиувилля моделей интегрируемой теории поля и теории струн, однако многие трудные вопросы квантовой теории Лиувилля до сих пор остаются нерешенными. Это, в частности, связано с трудностью вычислением явных аналитических ответов для конформных блоков в теории Лиувилля, так что пока наиболее эффективной остается рекурсионная процедура получения быстро сходящихся асимптотических разложений для конформных блоков, развитая Ал. Замолодчиковым [14]. Более подробно вопросы конформной теория поля и теории Лиувилля освещены в книгах [25], [26] и записках лекций [27],[28].
Важную роль в исследовании фундаментальных свойств теории поля играет исследование так называемых интегрируемых или точно решаемых моделей. Интегрируемыми являются системы, имеющие достаточное количество коммутирующих между собой интегралов движения. Наличие этих интегралов движения накладывает значительные ограничения на динамику в таких моделях, что позволяет получать множество точных результатов для физически важных величин - спектров, статистических сумм, S-матриц, формфакторов, корреляционных функций. В настоящее время основные усилия сектора сосредоточены на исследовании формфакторов и вакуумных средних в различных интегрируемых моделях квантовой теории поля.
Двумерная квантовая гравитация представляет собой теорию поля (материи) на флуктуирующей двумерной поверхности. Метрика на поверхности становится динамичекой вследствие конформной аномалии и описывается квантовой теорией Лиувилля. Некоторые модели двумерной квантовой гравитации с конформной материей допускают точное решение. В последнее время на основе исследование высших квантовых уравнений движения в теории Лиувилля нам удалось получить точные корреляционные функции для моделей с минимальной конформной материей как на замкнутых, так и на открытых поверхностях. Другое применение состоит в том, что модели двумерной конформной теории поля (модели Гепнера) описывают компактные измерения в некоторых моделях компактификации суперструн, причем это описание с самого начала квантовое, а не квазиклассическое.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
© 2003-, QFT Group of the Landau Institute for Theoretical Physics, Russian Academy of Sciences Report Problems |